正方形の対角線はいくら？(平方根)

一辺の長さが1cmの正方形の対角線の長さはいくらになるだろう？

右の図のボタンを押して、対角線を描いてみましょう。

ピタゴラスの定理を使うと、直角三角形について、次の関係があります。

この正方形なら、斜辺の長さを \(x\) cmとすると、次のようになります。

\(1^2=1\times1=1\) なので、

同じ数を二回かけると2になる数字は？

同じ数を二回かけると2になる数字 \(x\) っていくらでしょう？

なので、1.4と1.5の間に正しい \(x\) がありそうです。この \(x\) の値は \(1.414213\ldots\) で、小数が無限に続きます。

累乗で表してみよう

ところで、2は2を一回かけた数なので、\(2=2^1\) です。

同じ数の累乗の話を考えると、次の関係がありました。

\(2^1\) の指数の1を \(\frac12+\frac12\) と書くと、

つまり、\(x=2^{\frac12}\) です。こういう数を平方根と呼んで、\(\sqrt2\) のように書きます。

例えば、2乗すると3になる数は \(\sqrt3\) です。

2乗すると4になる数は \(\sqrt4\) です。ところで、\(2\times2=4\) ですから、\(\sqrt4=2\) です。

このように \(\sqrt n\) が整数になるような場合もあります。例えば、\(\sqrt9=3\)、\(\sqrt{16}=4\) ですね。

斜辺を一辺にした正方形の面積は？

また、右のアニメで斜辺を一辺にした正方形の面積を考えてみます。「斜辺を一辺にした正方形を描く」を押してみましょう。

この正方形は一辺が \(\sqrt2\) cmですから、面積は次のようになります。

面積は2cm²です。ボタンを押し続けて「45°倒して面積を比べる」を押すと、面積1cm²の正方形2枚と並べられます。ちょうど最初の正方形の2倍の面積の正方形ができます。

続けて「次は√2 cmの正方形で試す」を押すと、もう一度同じことができます。今度の対角線の長さは \(2\) cmです。それを一辺にした正方形の面積は \(2\times2=4\) cm²になります。

コンパスで、次の平方根を作ってみよう

右下の「√２，√３、√４、√５、、、の作図」では、一辺1の正方形から始めます。ボタンを押しながら、対角線を底辺に移す操作を確かめてみましょう。

① 対角線の長さをx軸へ移す

最初の正方形の対角線は、ここまでで求めた \(\sqrt2\) です。左下の点にコンパスの針を置き、対角線の長さまで開きます。そのまま弧を描いて、x軸と交わる点に印を付けます。

コンパスの開きは変えていないので、左下の点から印までの長さも \(\sqrt2\) です。これを底辺にして、高さ1の長方形を作ります。

② 底辺が√2なら、対角線は√3

この長方形の対角線についても、式(c1.17)のピタゴラスの定理を使えます。底辺は \(\sqrt2\)、高さは1なので、

2乗すると3になるので、この対角線の長さは \(\sqrt3\) です。

③ 同じ手順で、√4、√5、…と作る

今度は、コンパスを \(\sqrt3\) の対角線の長さに開いて、同じようにx軸へ移します。底辺が \(\sqrt3\)、高さが1の長方形を作ると、

対角線の長さは \(\sqrt4=2\) になります。この対角線をまた底辺に移し、高さを1にすると、次の対角線は \(\sqrt5\) です。

高さはいつも1なので、ピタゴラスの定理で足す数は毎回 \(1^2=1\) です。そのため、対角線を2乗した値が2、3、4、5、…と1ずつ増え、長さは \(\sqrt2\)、\(\sqrt3\)、\(\sqrt4\)、\(\sqrt5\)、…となります。

右のボタンで \(\sqrt{10}\) まで作図してみましょう。x軸の印が、作図した長さを表しています。\(\sqrt4=2\)、\(\sqrt9=3\) のように、整数になる位置も確かめられます。